第16章 空間エンコーディングと k 空間

前章で得た信号には、まだ「体のどこから来たか」の情報がありません。均一な静磁場の中では、すべてのプロトンが同じラーモア周波数で歳差するからです。位置の情報を刻み込む仕掛けが勾配磁場（gradient）です。そして勾配を使った MRI の測定は、CT とは違う形で、しかし同じフーリエ変換へと戻ってきます。

勾配磁場による周波数エンコード

主磁場に、位置に比例して強さが変わる弱い磁場を重ねます。$x$ 方向の勾配 $G_x$ をかけると、その瞬間のラーモア周波数が位置の 1 次関数になります。

$$\omega(x) = \gamma (B_0 + G_x\, x)$$

こうすると、受信した信号を周波数分解するだけで、各周波数成分が $x$ 座標に対応します。読み出し中にかける $G_x$ を周波数エンコード勾配と呼びます。もう一方の軸は、読み出しの前に短時間だけ勾配 $G_y$ をかけ、位置に比例した位相のずれを各行に与えます（位相エンコード）。$G_y$ の強さを 1 回の撮影ごとに変えながら繰り返すことで、2 次元の情報を集めます。

k 空間

勾配が時間とともに信号へ与える位相は、勾配の時間積分で決まります。そこで、その積分を新しい座標 $\mathbf{k}$ として定義します。

$$k_x(t) = \frac{\gamma}{2\pi}\int_0^t G_x(\tau)\, d\tau, \qquad k_y(t) = \frac{\gamma}{2\pi}\int_0^t G_y(\tau)\, d\tau$$

すると、時刻 $t$ に受信する信号は、横磁化 $m(x,y)$ の 2 次元フーリエ変換をちょうど点 $(k_x, k_y)$ で標本化した値になります。

$$s(k_x, k_y) = \iint m(x, y)\, e^{-i 2\pi (k_x x + k_y y)}\, dx\, dy$$

つまり MRI が測定しているのは、画像そのものではなく、そのフーリエ変換（k 空間）の値です。勾配を操作することは、k 空間の中をペンで走査することにほかなりません。読み出し勾配は $k_x$ 方向に線を引き、位相エンコードは開始する $k_y$ を選びます。標準的な 2DFT では、k 空間を 1 行ずつ水平に走査して格子を埋めます。

再構成は、集めた k 空間を 2 次元逆フーリエ変換するだけです。CT の FBP のようなフィルタも逆投影も要りません。標本間隔 $\Delta k$ が視野（FOV = $1/\Delta k$）を、最大値 $k_{\max}$ が空間分解能（$\approx 1/2k_{\max}$）を決めます。

シミュレーション：k 空間を埋める

真の画像（左）を 2 次元フーリエ変換した k 空間（中央）を、位相エンコード行ごとに埋めていき、その都度の逆変換（右）を見ます。ch2 のスキャンとサイノグラムの成長を思い出してください。あれの k 空間版です。中心行が入ると全体の濃淡が現れ、外周行が加わるとエッジが立ってきます。「センターアウト順」に切り替えると、走査順が中心から外へ変わり、早い段階でコントラストが決まる様子が分かります。

シミュレーション：k 空間のどこに何があるか

k 空間の一部だけを使って再構成します。「中心のみ」では低周波だけが残り、ぼけていてもコントラストは保たれます。「外周のみ」では高周波だけが残り、エッジが浮かんで平坦部は消えます。半径スライダーで境界を動かすと、コントラストと解像度がどう分担されているかが見えてきます。この「中心＝コントラスト・外周＝分解能」という構造は、次章以降の撮像時間短縮の鍵になります。

この章の要点

勾配磁場はラーモア周波数を位置の関数に変え、受信信号を画像のフーリエ変換の標本にします。この測定空間が k 空間で、勾配の操作は k 空間を走査することに対応します。再構成は 2 次元逆フーリエ変換だけで済みます。k 空間の中心は低周波でコントラストを、外周は高周波でエッジと分解能を担います。標本間隔が FOV を、最大周波数が分解能を決めます。次章では、こうして得た信号のコントラストを、パルスシーケンスと TR・TE でどう設計するかを見ます。

参考文献

• Ljunggren S. A simple graphical representation of Fourier-based imaging methods. Journal of Magnetic Resonance 54, 338–343 (1983) — k 空間形式の原典のひとつ。
• Twieg DB. The k-trajectory formulation of the NMR imaging process. Medical Physics 10, 610–621 (1983).
• Nishimura DG. Principles of Magnetic Resonance Imaging, Chapters 5–6. Stanford University (2010).