第18章 高速撮像と圧縮センシング

MRI の弱点は撮像時間です。標準的な 2DFT では、位相エンコードを 1 行測るたびに TR だけ待つので、撮像時間は概ね TR × 位相エンコード行数 × 加算回数で決まります。数分かかることも珍しくありません。速くする素直な方法は、k 空間の行を間引くことです。行数を半分にすれば時間も半分。問題は、素朴に間引くと画像が崩れることです。この崩れ方の違いが、そのまま再構成の工夫につながります。

アンダーサンプリングとアーチファクト

k 空間の標本間隔 $\Delta k$ は視野を決めていました（第16章）。行を 1 つおきに間引くと $\Delta k$ が 2 倍になり、視野が半分に折り返されます。体の外側にあったはずの信号が反対側へ回り込む折り返し（エイリアシング）です。等間隔に間引くほど、この折り返しは規則正しいレプリカとして重なります。

一方、行をランダムに、しかも中心を密・外周を疎に間引くと、崩れの様子が一変します。規則的なレプリカではなく、画像全体に散らばるノイズ状のアーチファクトになるのです。この「構造を持たない」崩れ方を非整合（incoherent）と呼びます。

シミュレーション：アンダーサンプリングのアーチファクト

k 空間の間引き方を変えて、ゼロ充填（未取得を 0 とみなす）再構成がどう崩れるかを見ます。等間隔 R=2・R=4 では折り返しのレプリカが重なり、間引き率が上がるほど重なりが増えます。可変密度ランダムに切り替えると、崩れがノイズ状に散らばります。次の圧縮センシングが消せるのは、この非整合なノイズ状アーチファクトのほうです。

圧縮センシング MRI

第10章のスパースビュー CT を思い出してください。少ない投影から画像を復元する鍵は、画像が勾配領域でスパースであること、測定が非整合であること、そして非線形な再構成でした。MRI はこの 3 条件を満たしやすい格好の舞台です。MR 画像は区分的に滑らかで勾配がスパース、可変密度ランダムサンプリングは非整合、あとは非線形再構成を回すだけ。これが CS-MRI で、圧縮センシングが最初に大きく花開いた応用です（Lustig ら 2007）。

再構成は、測定した k 空間サンプルと矛盾しない画像のうち、全変動 TV が最小のものを選ぶ最適化です。

$$\min_x \; \mathrm{TV}(x) \quad \text{s.t.} \quad \mathcal{F}_\Omega x = y$$

ここで $\mathcal{F}_\Omega$ はサンプリングした k 空間位置でのフーリエ変換、$y$ が測定値です。解き方は第10章の ASD-POCS とまったく同じ骨格で、データ整合ステップと TV 降下ステップを交互に繰り返します。CT の順投影・逆投影が、MRI では 2 次元 FFT・逆 FFT に置き換わるだけです。

シミュレーション：CS-MRI 再構成

25% の可変密度ランダムサンプリングから、ゼロ充填（左）と TV 正則化の反復再構成（右）を比べます。反復を進めると、右のノイズ状アーチファクトが消えて RMSE がゼロ充填を大きく下回ります。TV ステップ幅 $\lambda$ を上げると平滑化が強くなり、上げすぎると細部が階段状に潰れます。$\lambda = 0$ にするとデータ整合だけになり、ゼロ充填のまま改善しないことも確かめてください。

加速の 3 つの道

k 空間を間引いて速くするアプローチは、大きく 3 つに整理できます。パラレルイメージング（SENSE, GRAPPA）は、複数の受信コイルの感度の違いを使って折り返しを解きます。等間隔間引きにも使えるのが特徴です。圧縮センシングは、非整合サンプリングとスパース性で非整合アーチファクトを消します。そして深層学習は、復元そのものをデータから学びます。第12章で見た画像復元や展開型ネットワークは、MRI の再構成でも活発に研究されています。実機ではこれらを組み合わせるのが主流です。

この章の要点

MRI の撮像時間は位相エンコード行数に比例するので、k 空間を間引けば速くなります。等間隔間引きは規則的な折り返しを生み、可変密度ランダムは非整合なノイズ状アーチファクトを生みます。圧縮センシングは、後者の非整合性とスパース性を使い、第10章と同じ TV 反復（演算子を FFT に替えたもの）で像を復元します。パラレルイメージングや深層学習と組み合わせることで、実機の高速撮像が支えられています。次章では MRI を離れ、放射線を「出す側」から測る核医学トモグラフィ（PET/SPECT）へ移ります。逐次近似（第8章）がそこで本来の姿を現します。

参考文献

• Lustig M, Donoho D, Pauly JM. Sparse MRI: The application of compressed sensing for rapid MR imaging. Magnetic Resonance in Medicine 58, 1182–1195 (2007) — CS-MRI の原典。
• Pruessmann KP et al. SENSE: Sensitivity encoding for fast MRI. Magnetic Resonance in Medicine 42, 952–962 (1999).
• Griswold MA et al. Generalized autocalibrating partially parallel acquisitions (GRAPPA). Magnetic Resonance in Medicine 47, 1202–1210 (2002).
• Hammernik K et al. Learning a variational network for reconstruction of accelerated MRI data. Magnetic Resonance in Medicine 79, 3055–3071 (2018).