第1章 X線と減弱

X 線が物質の中を進むと、光電吸収やコンプトン散乱によって光子が少しずつビームから取り除かれ、強度は通過距離とともに指数関数的に減っていきます。厚さ $L$ の均一な物質を透過する場合、入射強度 $I_0$ と透過強度 $I$ の間には次の関係が成り立ちます。比例定数 $\mu$ は線減弱係数と呼ばれ、物質の種類と密度、それにX 線のエネルギーで決まる量です。

$$I = I_0\, e^{-\mu L}$$

人体のような不均一な物体では、$\mu$ は場所ごとに異なります。そこで経路 $L$ を微小区間 $dl$ に刻み、各区間の透過率 $\exp(-\mu\, dl)$ を順に掛け合わせていくと、指数の肩に $\mu$ の線積分が現れます。これが Beer–Lambert の法則の一般形です。

$$I = I_0 \exp\!\left(-\int_{L} \mu(x,y)\, dl\right)$$

検出器で測れるのは強度比 $I/I_0$ だけです。しかし、その負の対数を取れば経路上の $\mu$ の線積分 $p$ がそのまま得られます。この $p$ を「投影（projection）」と呼びます。CT とは、多くの方向から測った投影の集まりを手がかりに、$\mu(x,y)$ の空間分布を復元する技術です。

$$p \;=\; -\ln\frac{I}{I_0} \;=\; \int_{L} \mu(x,y)\, dl$$

実際の装置ではどう測るか

X 線管では、高電圧で加速した電子を金属ターゲットへ衝突させ、制動放射と特性X 線からなるスペクトルを発生させます。管電圧（kVp）は主に光子の最大エネルギーとスペクトルを、管電流時間積（mAs）は主に光子数を変えます。患者の前に置く bow-tie filter は、薄い周辺部へのX 線を減らし、線量と検出器入射強度を均します。

従来の CT 検出器は、X 線をシンチレータで可視光へ変え、フォトダイオードで積分します。測定前にはX 線を当てない dark 測定と、被写体を置かない air 測定を行い、検出器ごとのオフセットとゲインを補正します。第11章のリングアーチファクトは、この校正が不完全な場合の一例です。本章の $I_0$ は air 測定、$I$ は被写体を通した測定に相当します。

シミュレーション：1 本のレイの線積分

選んだファントム（$\mu$ の分布）に 1 本のレイを重ねています。角度 $\theta$ と検出器位置 $s$ を動かすと、レイ上の $\mu$ プロファイル、線積分 $p$、透過率 $I/I_0$ が連動して変わります。Shepp-Logan ファントムの外殻など、減弱の大きな領域を横切ると $p$ は増え、透過率は急に下がります。自由描画タブでは任意の $\mu$ 分布を試せます。

投影からサイノグラムへ

投影 $p = -\ln(I/I_0)$ は、レイに沿った減弱係数の線積分です。1 本のレイから得られるのは 1 つの値だけなので、CT ではレイを並べて投影プロファイルを作り、それを複数の角度で測ります。次章では、この測定値をサイノグラムとしてまとめます。

参考文献

• Hounsfield GN. Computerized transverse axial scanning (tomography): Part 1. Description of system. British Journal of Radiology 46, 1016–1022 (1973).
• Bushberg JT et al. The Essential Physics of Medical Imaging, 4th ed. Wolters Kluwer (2020).