第10章 スパースビュー再構成と圧縮センシング

前章で見たとおり、線量を減らす道のひとつは「取得するデータそのものを減らす」ことです。投影の本数を半分にすれば、被曝も撮影時間もおよそ半分になります。しかし第4章では、投影が少なすぎると再構成像が放射状のストリークで覆われることも見ました。では、画像を壊さずに投影をどこまで間引けるのでしょうか。この問いに対する古典的な答えが標本化理論で、それを覆したのが 2000 年代半ばに登場した圧縮センシング（Compressed Sensing, CS）です。

標本化の要請

直径 $n$ ピクセルの画像を FBP で忠実に再構成するには、およそ

$$N_{\mathrm{views}} \gtrsim \frac{\pi}{2}\, n$$

の投影が必要というのが古典的な目安です（Crowther の基準）。検出器の標本間隔と角度方向の標本間隔を釣り合わせる、という Nyquist 流の議論から出てくる値で、$n = 128$ なら約 200 投影で、本教材の標準設定 180 投影はほぼこの水準です。これを下回ると、角度方向のエイリアシングがストリークとして現れます。第4章の「少数投影の星状アーチファクト」は、まさにこの標本化不足の署名でした。

古典理論の見立てはここまでです。情報が足りない以上どんなアルゴリズムでも復元できない、というわけです。ただしこれは、画像について何も仮定しない場合の話です。

圧縮センシング

2006 年前後、Candès・Romberg・Tao と Donoho は次のことを示しました。信号が何らかの変換領域でスパース（ほとんどの係数がゼロ）であり、測定がその表現と非整合（incoherent）であれば、Nyquist の要請を大きく下回る測定数からでも $\ell_1$ 最小化で厳密に復元できます。これが圧縮センシングです。JPEG が画像を数十分の一に圧縮できるのは画像が変換領域でスパースだからで、「どうせ圧縮できる情報しか持っていないなら、最初から少なく測ればよい」と言い換えることもできます。

CT 画像はどの領域でスパースでしょうか。画素値そのものはゼロだらけではありませんが、人体の断面は臓器ごとにほぼ一様な、区分的に滑らかな画像です。つまり隣接画素の差分（勾配）を取れば、エッジ以外はほぼゼロで、勾配領域でスパースです。

勾配の大きさの総和、すなわち画像の全変動（Total Variation）を

$$\mathrm{TV}(x) = \sum_{j} \left\| (\nabla x)_j \right\|_2 = \sum_{j} \sqrt{(\Delta_h x)_j^2 + (\Delta_v x)_j^2}$$

と書くと（勾配の $\ell_1$ ノルムに相当）、スパースビュー CT の再構成は次の最適化問題になります。

$$\min_x \; \mathrm{TV}(x) \quad \text{s.t.} \quad A x = p, \quad x \ge 0$$

「測定と矛盾しない画像のうち、勾配が最もスパースなものを選べ」という定式化です。ストリークは勾配をたくさん持つ（いたるところに偽のエッジを作る）ので、TV を最小化する解からは自然に排除されます。

ASD-POCS

この最適化を解く方法として、CT では Sidky と Pan の ASD-POCS（adaptive steepest descent と projection onto convex sets）がよく知られています。基本構造は、第8章の逐次近似ループに正則化を加えたものです。

第8章で「逐次近似の本当の強みは事前知識を差し込める拡張性にある」と述べました。ASD-POCS はその最初の本格的な実例です。本教材の実装は、TV 降下のステップ幅を固定した簡略版（src/core/recon/tv.ts）ですが、挙動の本質は変わりません。

シミュレーション：FBP vs SART vs SART+TV

180 投影から $k$ 本を等角度に抜き出し、同じデータで 3 手法を比べます。SART 系は 20 回反復します。$k = 24$（全投影の 13%）では、SART+TV は Shepp-Logan ファントムをおおむね復元しますが、FBP にはストリーク、SART には標本化不足によるアーチファクトが残ります。TV ステップ幅 $\lambda$ を上げすぎると、プロファイルが階段状になる staircase アーチファクトが現れます。自由描画で細かな構造を増やすとスパース性の仮定が弱まり、TV の効果も小さくなります。

限界と、その先へ

「区分一様」よりも柔軟な事前知識は、データから学習できます。これが第12章で扱う学習ベースの手法につながります。逐次近似のループにネットワークを組み込む展開型（unrolled）ネットワークは、ASD-POCS とよく似た構造を持ちます。第13章で触れる拡散モデルによる再構成も、学習した生成事前分布とデータ整合を交互に適用します。また、ここで見た圧縮センシングはもともと MRI で花開いた技術で、MRI 編（第18章）では同じ TV 反復が、演算子をフーリエ変換に替えてそのまま再登場します。

参考文献

• Candès EJ, Romberg J, Tao T. Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information. IEEE Trans. Information Theory 52, 489–509 (2006) — 圧縮センシングの原典のひとつ。
• Donoho DL. Compressed sensing. IEEE Trans. Information Theory 52, 1289–1306 (2006).
• Rudin LI, Osher S, Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D 60, 259–268 (1992) — TV 正則化の原典。
• Sidky EY, Pan X. Image reconstruction in circular cone-beam computed tomography by constrained, total-variation minimization. Physics in Medicine & Biology 53, 4777–4807 (2008) — ASD-POCS の原典。
• Pan X, Sidky EY, Vannier M. Why do commercial CT scanners still employ traditional, filtered back-projection for image reconstruction? Inverse Problems 25, 123009 (2009) — 逐次近似・CS 再構成の実用化をめぐる冷静な整理。