第4章 フィルタ補正逆投影（FBP / CBP）

前章の宿題は「逆投影の前に、投影へどんな補正を掛けるべきか」でした。鍵になるのが中心断面定理（Fourier slice theorem）です。角度 $\theta$ の投影プロファイル $p(\theta,\cdot)$ を 1 次元フーリエ変換した $P(\theta,\omega)$ は、物体 $f(x,y)$ の 2 次元フーリエ変換 $F$ を、原点を通る角度 $\theta$ の直線に沿って切り出したものに一致します。1 方向の投影を測ることは、2 次元周波数空間を 1 本の線として測ることだったわけです。

$$P(\theta, \omega) \;=\; F(\omega\cos\theta,\; \omega\sin\theta)$$

全角度の投影を集めると、$F$ は極座標格子（原点を通る放射状の線束）の上でサンプルされたことになります。この格子は原点付近ほど密で、高周波ほど疎です。2 次元逆フーリエ変換を極座標で書き直すと、面積要素 $d\omega_x\, d\omega_y = |\omega|\, d\omega\, d\theta$ からヤコビアン $|\omega|$ が現れます。これがランプフィルタの正体です。SBP が低周波を過大評価してボケるのは、この密度補正 $|\omega|$ を掛け忘れているからでした。

$$f(x,y) = \int_0^{\pi}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} P(\theta,\omega)\, |\omega|\, e^{\,2\pi i \omega (x\cos\theta + y\sin\theta)}\, d\omega\, d\theta$$

$\omega$ の積分を先に実行すると、実装しやすい形になります。各角度の投影 $p(\theta,\cdot)$ にフィルタ $h$ を畳み込んで補正済み投影 $q(\theta,\cdot)$ を作り、あとは前章の SBP とまったく同じ手順で逆投影するだけです。これがフィルタ補正逆投影（filtered backprojection, FBP）です。フィルタの周波数応答は、ランプ $|\omega|$ に窓関数 $W(\omega)$ を掛けた $H(\omega) = |\omega|\cdot W(\omega)$ と書けます。

$$f(x,y) = \int_0^{\pi} q\bigl(\theta,\; x\cos\theta + y\sin\theta\bigr)\, d\theta, \qquad q(\theta,\cdot) = p(\theta,\cdot) * h$$ $$H(\omega) = |\omega| \cdot W(\omega)$$

畳み込み定理により、周波数領域で $H(\omega)$ を乗じる操作と、実空間でカーネル $h(s)$ を畳み込む操作は完全に等価です。実空間の畳み込みとして実装したものは畳み込み逆投影（convolution backprojection, CBP）と呼ばれます。FFT で行う FBP と、Ram-Lak や Shepp-Logan の閉形式カーネルを直接畳み込む CBP は、同じ数学の 2 通りの実装です。

$$q(\theta, s) = \int_{-\infty}^{\infty} |\omega|\, W(\omega)\, P(\theta,\omega)\, e^{\,2\pi i \omega s}\, d\omega \;=\; (h * p)(\theta, s)$$

シミュレーション：フィルタの形

フィルタを切り替えて、周波数応答 $H(\omega) = |\omega|\cdot W(\omega)$ と実空間カーネル $h[n]$ の形を見比べます。Ram-Lak はナイキスト周波数までまっすぐ伸びるランプで、Shepp-Logan と Hann は窓によって高域が抑えられています。実空間カーネルは中心が正、両脇が負。この負のローブが、逆投影の $1/r$ ボケをちょうど打ち消します。

シミュレーション：フィルタ前後の投影プロファイル

選んだファントムの 1 角度分の投影 $p(\theta,\cdot)$ と、フィルタ適用後の $q(\theta,\cdot)$ を重ねて表示します。フィルタ後の変化は 3 つあります。物体の縁が強調されること、平坦な内部では値が下がること、そして物体のすぐ外側で負の値になることです。この負の部分が、逆投影のときに隣のレイが塗り足すボケを打ち消す役割を担います。

シミュレーション：FBP 再構成

同じ投影データから SBP（左）と FBP（右）を再構成して比べます。フィルタ「なし」が SBP 相当です。投影数を減らすと、FBP でもストリークが現れます。ノイズを加える（$I_0$ を小さくする）と Ram-Lak はノイズを強く増幅し、Shepp-Logan や Hann では滑らかに収まります。RMSE は FOV 中心 90% の円内で真のファントムと比較した値です。

FBP の要点

中心断面定理により、投影の 1 次元スペクトルは物体の 2 次元スペクトルの放射状断面であることが分かりました。極座標サンプリングの密度補正 $|\omega|$ を投影に掛けてから逆投影するのが FBP です。実空間の畳み込みで書けば CBP になり、両者は等価です。窓関数 $W(\omega)$ が解像度とノイズのトレードオフを決めます。ここまでは平行ビームの話でした。次章では、実際の CT 装置が使うファンビームの幾何学と、その再構成を扱います。

なお、この中心断面定理は CT だけのものではありません。MRI 編（第16章）では、勾配磁場を使って物体の 2 次元スペクトルそのものを直接測ります。CT が投影を通じて間接的に触れていたフーリエ空間を、MRI は正面から走査するのです。

参考文献

• Ramachandran GN, Lakshminarayanan AV. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms. PNAS 68, 2236–2240 (1971).
• Shepp LA, Logan BF. The Fourier reconstruction of a head section. IEEE Transactions on Nuclear Science 21, 21–43 (1974).
• Kak AC, Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging, Chapter 3. IEEE Press (1988).