第2章 順投影とサイノグラム

前章で見たのは 1 本のレイの線積分 $p$ でした。角度 $\theta$ を固定したまま検出器位置 $s$ を一様に走らせると、$s$ の関数として 1 次元の投影プロファイル $p(\theta,\cdot)$ が得られます。すべてのレイが平行なので、この撮影方式を平行ビーム投影と呼びます。物体 $\mu(x,y)$ を全角度・全位置の線積分に写す変換が Radon 変換です。次の式では、$\delta$ 関数が直線 $x\cos\theta + y\sin\theta = s$ 上の積分を選び出す働きをしています。

$$p(\theta, s) = \iint \mu(x, y)\, \delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s)\, dx\, dy$$

$\theta$ を 0° から 180° まで回しながら投影を集め、横軸 $s$・縦軸 $\theta$ の 2 次元画像として並べたものがサイノグラム（sinogram）です。平行ビームでは $p(\theta+180^\circ, s) = p(\theta, -s)$ が成り立つので、180° 分で情報は一周分そろいます。CT 装置が実際に測定する生データはこのサイノグラムであり、再構成とはここから $\mu(x,y)$ を復元する処理を指します。

$$s(\theta) = x_0\cos\theta + y_0\sin\theta = r\cos(\theta - \varphi), \quad r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$$

シミュレーション：スキャンとサイノグラムの成長

角度スライダーを動かすと、左のファントム上のレイ束（現在の投影方向）と右上の投影プロファイル $p(\theta,\cdot)$ が連動します。「スキャン」を押すと角度が自動で進み、右下のサイノグラムが上から 1 行ずつ埋まっていきます。まずは点ファントムでスキャンを一周。サイノグラムに正弦曲線がちょうど 1 本だけ現れます。Shepp-Logan に切り替えると、多数の正弦曲線が重なり合う様子が見えてきます。

順投影と逆問題

サイノグラムは、各角度の投影プロファイルを並べた 2 次元データです。物体内の 1 点は、その中に正弦曲線を描きます。ここまでは物体から測定値を求める順投影でした。次章では逆に、測定値をレイに沿って戻す単純逆投影を扱います。ただし、そのままではボケた像になることも見ます。

参考文献

• Radon J. On the determination of functions from their integral values along certain manifolds. IEEE Transactions on Medical Imaging 5, 170–176 (1986) — 1917 年論文の英訳。
• Kak AC, Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. IEEE Press (1988).